Certamente i progressi più significativi della matematica sono scaturiti dall'elaborazione del concetto di infinito. L'uomo è in grado di formulare il concetto di infinito, ma in realtà si tratta di qualcosa di incommensurabilmente grande, o più semplicemente al di fuori dei limiti di un tempo e di un processo finiti.
Se saliamo una gradinata di parecchi scalini, giunti ad un certo punto potremmo essere stanchi e sentenziare che il numero di gradini della gradinata è infinito, cioè: essi continuano oltre le nostre forze o la nostra volontà. Ma esiste veramente qualcosa di infinito nell'universo? Anche l'universo stesso potrebbe essere finito e con esso il tempo e lo spazio.
Come nasce in matematica il concetto di infinito?
Molto spesso si dice che l'infinito è correlato al concetto di “insieme che contiene sé stesso”. Consideriamo i numeri naturali, essi sono infiniti, perché? Perché è sempre possibile trovare il successore di un numero, per quanto grande esso possa essere! Certo, ma questa è una pura congettura, che nasce dal fatto, non verificato, che dato un numero possiamo trovare il successivo semplicemente sommando una unità; avremmo abbastanza tempo per farlo? Avremmo abbastanza spazio? Anche se un uomo saprebbe, in teoria, come farlo, non è immediato che potrebbe realmente riuscirci! Peano ha mostrato che l'intera teoria dei numeri naturali può essere dedotta da tre idee primitive e da cinque proposizioni fondamentali in aggiunta a quelle della logica pura.