Il concetto di infinito

Certamente i progressi più significativi della matematica sono scaturiti dall'elaborazione del concetto di infinito. L'uomo è in grado di formulare il concetto di infinito, ma in realtà si tratta di qualcosa di incommensurabilmente grande, o più semplicemente al di fuori dei limiti di un tempo e di un processo finiti.

Se saliamo una gradinata di parecchi scalini, giunti ad un certo punto potremmo essere stanchi e sentenziare che il numero di gradini della gradinata è infinito, cioè: essi continuano oltre le nostre forze o la nostra volontà. Ma esiste veramente qualcosa di infinito nell'universo? Anche l'universo stesso potrebbe essere finito e con esso il tempo e lo spazio.

Come nasce in matematica il concetto di infinito?

Molto spesso si dice che l'infinito è correlato al concetto di “insieme che contiene sé stesso”. Consideriamo i numeri naturali, essi sono infiniti, perché? Perché è sempre possibile trovare il successore di un numero, per quanto grande esso possa essere! Certo, ma questa è una pura congettura, che nasce dal fatto, non verificato, che dato un numero possiamo trovare il successivo semplicemente sommando una unità; avremmo abbastanza tempo per farlo? Avremmo abbastanza spazio? Anche se un uomo saprebbe, in teoria, come farlo, non è immediato che potrebbe realmente riuscirci! Peano ha mostrato che l'intera teoria dei numeri naturali può essere dedotta da tre idee primitive e da cinque proposizioni fondamentali in aggiunta a quelle della logica pura.

Le tre idee primitive della aritmetica di Peano sono:

a) Lo 0 (zero)

b) Il numero

c) Il successore

Per successore si intende il successivo nell'ordine naturale o un algoritmo che, dato un numero, ne ricavi il successivo. Cioè, il successore di 0 è 1, il successore di 1 è 2 ... il successore di 9 è 10 (scrivo zero e riporto uno) e così via. Per numero egli intende la classe dei numeri naturali.

Le cinque proposizioni primitive che Peano assume sono:

1) 0 è un numero

2) il successore di ogni numero è un numero

3) due numeri non possono avere lo stesso successore

4) 0 non è il successore di alcun numero

5) ogni proprietà dello 0, come anche del successore di ogni numero che abbia quella proprietà, è di tutti i numeri.

Si può dimostrare che ogni serie che verifichi le cinque condizioni di Peano è una progressione, dove per progressione si intende una serie della forma: x0,x1,x2,...,xn,... nella quale esista un primo termine, un successore ad ogni termine, in modo che non esista un ultimo termine, senza ripetizioni, potendo ogni termine essere raggiunto dal primo con un numero finito di passaggi; orbene, il punto rimane il seguente: è possibile proceduralmente per un uomo, o per una macchina, in questo universo, generare effettivamente infiniti termini?

Personalmente, sono propenso a congetturare che a livello di percezione dell'universo sensibile non esistano infiniti termini se non piuttosto confini percettivi che non possono essere trattati e manipolati se non utilizzando il concetto di infinito: l'infinito corrisponde all'orizzonte percettivo.

Ciò non impedisce agli elaboratori elettronici di calcolare limiti di funzioni che matematicamente utilizzano il concetto di infinito. Altrimenti, come ben si sa, Achille non raggiungerebbe mai la tartaruga.

Il numero di neuroni del cervello è molto grande ma finito, anche la capacità di memoria di un calcolatore può essere molto grande ma pur tuttavia è finita. Non è difficile programmare un elaboratore affinché esegua un ciclo senza fine, il classico loop, ma prima o poi tale ciclo verrebbe interrotto, o bloccando il programma, o spegnendo il calcolatore stesso. L'infinito sembra proprio che non possa avere una dimora nel cervello o nell'elaboratore, anche se è possibile concepire qualcosa senza fine, forse proprio per la contrapposizione rispetto alle cose che sono finite. Partendo dalla percezione di una mela rossa possiamo concepire una mela non rossa, voglio dire non verde e nemmeno gialla, semplicemente non rossa. Percepirla realmente è un'altra cosa.

Tutte le percezioni vengono dunque codificate in un sistema di rappresentazione finito, numerabile. Potremmo numerare ogni singolo elemento di rappresentazione ed associare ciascun numero all'entità rappresentata; avremmo allora solo dei numeri e delle relazioni tra numeri, il significato di un termine della rappresentazione potrebbe consistere nell'insieme dei numeri correlati ad un certo numero; ogni messaggio in ingresso ed in uscita dal sistema non sarebbe altro che un insieme di numeri opportunamente codificati. Un messaggio sarebbe allora compreso nel caso in cui il collegamento tra il messaggio e l'insieme dei numeri connessi fosse corretto.